Hola neni, a ver por partes:
El DNI es imprescindible  para salir de España así que es lo primero que tendras que solucionar, no lo dejes mucho porque necesitaras que el registro civil te expida una copia literal del libro de familia y debes especificar y recalcar que es para la obtención del primer DNI.
Respecto al carrito, yo nunca he tenido problemas, nosotros tenemos un bugaboo que tambien pliega en dos partes y me lo han dejado llevar hasta la puerta de embarque donde lo hemos plegado y el personal del avion nos lo han bajado a la bodega, dependiendo de la compañia y/o del aeropuerto de llegada puede ser que al bajar del avión te lo encuentres en la puerta del avión o bien que tengas que recogerlo en la zona de recogida de equipojes, pegunta en el mismo avion y ya te diran.
Especial no tienes que hacer nada sólo tener la precaución de darle el chupete o bibe o teta justo al despegar y al aterrizar para compensar el cambio de presión y que no le moleste a los oidos.
La verdad es que nuestra petardilla las veces que ha volado (han sido vuelos cortos, el mas largo 3 horas, según desde donde vueles mas o menos como ir a Praga) se ha portado superbien y la verdad es que parece que el ruidito del avión la adormece, todas las veces se ha pegado unas buenas siestas con lo que es como si no hubiese habido niña durante el vuelo ¡¡¡¡¡

Suerte y feliz estancia en Praga, no se si ya la conoces pero es una ciudad preciosa, casi casi de cuento de hadas ¡¡¡¡¡¡

Martinica te lo ha explicado genial.
No te preocupes que parece que el avión les encanta, nosotros acabamos de volver de Buenos Aires (unas 13 horas) y fue con 2 meses y volvió con 3. El viaje se lo pasó durmiendo entre el ruido del avión y las turbulencias (meneítos que le gustan), durmió mejor que en casa. En el avión de vuelta había 8 bebés y no se oyó a ni uno.
Pasadlo muy bien!!

La cunita de la que habla Sonia se llama Basinet, pero creo que sólo se utiliza en vuelos transoceánicos o que duren mas de 6 horas, creo que depende de la configuracion del avion,pero no estoy segura, de todas maneras no pierdes nada por preguntar en tu compañia de vuelo.

A nosotros el carro nos lo devolvieron perfecto, sin problemas. Piensa que no lo facturas, va en la bodega.
Las cunas son para vuelos largos, nostros hicimos Barcelona Madrid y allí te dan sólo el cinturón de seguridad infantil y el chaleco, para Madrid – Buenos Aires nos pusieron la cuna que fue una gozada. También hay cambiadores muy majos en los baños.